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第 16 楼

钱伟长对于这种近似的板壳理论深感不满，曾在昆明西南联合大学（１９３９至１９４０年）对这一问题进行了研究，以三维微元体平衡方程为基础，引进三维应力应变关系，得到用应变分量所表示的平衡方程。

作者：122.195.222.* （2008/12/4 17:27:32）

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第 17 楼

同时，采用拖带坐标（ｃｏ－ｍｏｖｉｎｇｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ）（ｘ０，ｘ１，ｘ２），在变形前，中面为ｘ０＝０，（ｘ１，ｘ２）为中面上的坐标。中面以外各点的坐标则用ｘ０，以及中面的法线与中面的交点ｘ１、ｘ２为坐标，称为以中面为基础的高斯坐标系，这个坐标系在变形前的基本张量为ｇ′ij （ｘ０，ｘ１，ｘ２），其中：
　　ｇ′０１＝ｇ′０２＝０在变形中，各点的坐标（ｘ０，ｘ１，ｘ２）标称不变，亦即在变形中坐标架随着板壳变形的质点位移而被拖带着变形。所以，变形后坐标系的基本张量不再是ｇ′ｉｊ（ｘ０，ｘ１，ｘ２），而变为ｇij（ｘ０，ｘ１，ｘ２），应变张量为：
　　ｅｉｊ＝（ｇｉｊ－ｇ′ｉｊ）／２因为变形前和变形后的坐标空间都是平坦空间，所以，它们的曲率张量Ｒ′ｉｊｋｌ和Ｒｉｊｋｌ都恒等于零。由此可以得到六个协调方程。
　　钱伟长的导师辛格教授原籍爱尔兰，是英国皇家学会会员，由于德军空袭来到加拿大多伦多大学，创建了北美第一个应用数学系，系内有Ｌ．因费尔得（Ｉｎｆｅｌｄ）、温斯坦、Ａ．Ｆ．史蒂文森（Ｓｔｅｖｅｎｓｏｎ）等教授，因费尔得是Ａ．爱因斯坦（Ｅｉｎｓｔｅｉｎ）的大弟子，著有《物理学的演化》等书。钱伟长在与辛格教授第一次面谈时，发现两人都在研究板壳理论，辛格用宏观的内力素张量求得在外力作用下板壳的张量平衡方程，称之为宏观方程组，而把钱伟长的方程称为微观方程组。辛格认为：虽然两种理论所用的力学量和符号有所不同，但其实质是等同的。

作者：122.195.222.* （2008/12/4 17:28:01）

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第 18 楼

辛格教授提出把两种理论合在一起，写成一篇论文，供冯·卡门教授祝寿文集之用。
　　这篇文章发表之后，很受力学界和数学界的重视，先后在多伦多大学、加拿大数学年会、美国加州理工学院航空系、美国数学学会西部年会等场合作学术报告；在英国和澳洲有人写过书，进一步研究这一问题。１９７３年，荷兰Ｈ．Ｓ．鲁坦（Ｒｕｔｔｅｎ）教授在《壳体渐近理论和设计》一书中多次推崇这篇文章，说：“辛格和钱的工作，继承了１９世纪早期Ａ．柯西（Ｃａｕｃｈｙ）和Ｓ．Ｄ泊松（Ｐｏｉｓｓｏｎ）的工作，在西方文献中重新注入了新的生命力。”他又指出：“板壳理论由于成功地采用了先验的Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ－Ｌｏｖｅ假设，人们已经长期没有研究板壳的三维理论了。”“辛格和钱的工作是三维理论的基本工作，仅用力学状态的内禀变量，应力和应变，严格地从三维理论中导出了任意形状的薄壳都适用的非线性方程，这里在各向同性的假定下，把应力和应变分量按厚度方向的坐标展开为泰勒级数。近似的二维方程只有６个基本待定量，３个代表中面拉伸应变，３个代表中面弯曲变形分量，这是辛格与钱工作最重要的特点。”１９８２年，在上海国际有限元会议上，执行主席Ｒ．Ｈ．盖拉格（Ｇａｌｌａｇｈｅｒ）教授向大会介绍钱伟长时说：“钱教授有关板壳统一内禀理论的论文，曾是美国应用力学研究生在４０—５０年代必读的材料，他的贡献对以后的工作很有影响。”

作者：122.195.222.* （2008/12/4 17:28:40）

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第 19 楼

钱伟长把上述理论的思路进一步展开，完成了以薄板薄壳统一内禀理论为内容的博士学位论文，１９４４年在应用数学季刊上分三次连载发表。文中从三维弹性理论的应力平衡方程出发，配合着三维的应力应变关系，并假定材料均匀各向同性，对一般薄壳问题进行了系统的研究。薄板被看作是薄壳的特例。把应力应变分量展开为厚度方向坐标ｘ０的泰勒级数，得到用６个待定量ｐαβ，ｑαβ（α，β＝１，２）表示的３个平衡方程和３个协调方程，这里ｐαβ和ｑαβ分别为中面拉伸张量和中面弯曲张量。解出ｐαβ和ｑαβ以后，就能计算各点的应力和应变，也可以算出壳体中面各点上的内力素。文中并未采用位移为未知量，所以和常见的板壳理论在形式上有很大区别。文中应力、应变和曲率都采用张量表述，是一个大的进步。

作者：122.195.222.* （2008/12/4 17:29:08）

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第 20 楼

１９４４年的连载文章中，利用中面拉伸张量ｐαβ、中面弯曲张量ｑαβ，以及中面曲率张量ｂαβ三者与板壳厚度的相对量级来进行板壳问题的分类和近似。当然，应变在这里都是小量。文中把板壳问题系统地分成１２类薄板问题和３５类薄壳问题。分别给出了６个基本方程的相应简化形式。在这些简化方程中，略去了量级较小的项，得到系统而且一致的近似。所得到的各类近似方程中，包括了常见的小挠度方程和一些已知的大挠度方程。但是有不少有限挠度的方程是新的，以前并不见于任何文献，而且很有实用价值。例如，浅壳就是由于这一分类引出的新概念，当壳体中面跨度的平均尺寸Ｌ和最小曲率半径Ｒ之比相当于厚度ｈ和Ｌ之比时，称为浅壳或扁壳。在某些外加载荷下，浅壳会发生菱形皱折失稳。冯·卡门和钱学森在１９３９年和１９４１年研究了柱壳在轴向力下的局部失稳和球壳在外压下的局部失稳现象。如果把局部尺寸看做是壳的有效跨度，则对于局部区域而言，也可以看作是浅壳，用浅壳大挠度方程求解。圆薄板大挠度卡门方程，也可以由浅壳方程蜕化得到。１９５８年８月，在美国斯坦福大学举行的海军结构力学研讨会上，冯元桢和Ｅ．Ｅ．塞克勒（Ｓｅｃｈｌｅｒ）发表了《弹性薄壳的失稳》，文中称浅壳方程为“钱伟长一般方程”，而称浅圆柱壳方程为“圆柱壳的钱伟长方程”。

作者：122.195.222.* （2008/12/4 17:29:34）

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